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4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图象如图所示,下列5个结论:①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④c<4b;⑤a+b<k(ka+b)(k为常数,且k≠1).其中正确的结论有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

分析 由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

解答 解:①由图象可知:a<0,c>0,
∵-$\frac{b}{2a}$>0,
∴b>0,
∴abc<0,故此选项正确;
②当x=-1时,y=a-b+c<0,∴b>a+b故b<a+b,错误;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此选项正确;
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=-$\frac{b}{2a}$=1,
即a=-$\frac{b}{2}$,代入得9(-$\frac{b}{2}$)+3b+c<0,得c<$\frac{3}{2}$b,故∵b>0,∴c<4b此选项正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=k时,y=ak2+bk+c,
所以a+b+c>ak2+bk+c,
故a+b>ak2+bk,即a+b>k(ak+b),故此选项错误.
故①③④正确.
故选B.

点评 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,灵活运用二次函数的性质是解题的关键.

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