Question

10．以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．
（1）如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）．
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，
①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；
②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．

Answer 1

分析 （1）连接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根据弧长公式求出即可；
（2）①分为四种情况，画出图形，求出弧长，即可求出答案；
②作OM⊥PQ，根据面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）如图1，连接OQ，则OQ⊥PQ．
∵OQ=OA=1，OP=2，
∴∠QPO=30°，
∵∠PQO=90°，
∴∠QOP=60°，
∴∠BOQ=30°，
∴弧BQ的长是$\frac{30π×1}{180}$=$\frac{1}{6}$π，
∵运动时间t=1，
∴点Q的运动速度为$\frac{1}{6}$π；

（2）①分为四种情况：
a、由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形；
b、如备用图2，当点Q₁关于x轴对称时，
△OPQ₁为直角三角形，此时∠BOQ₁=150°，
弧BQ₁=$\frac{5}{6}$π，则t=5；
c、当点Q₂（0，-1）或Q₃（0，1）时，∠POQ₂=∠POQ₃=90°，
此时t=6或t=12．
即当t=1，t=5，t=6或t=12时，△OPQ为直角三角形；

②如备用图3，当t=6或t=12时，直线PQ与⊙O相交，设交点为N，
作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ•OM=OQ•OP，
PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
PM=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
弦长PN=2PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（cm）．

点评 本题考查了弧长的计算，三角形面积公式，切线的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生的计算能力，用了分类讨论思想．