Question

【题目】如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（　　）

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，

∵CD＝DE，

∴AB＝DE，

在△ABG和△DEG中，

，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴AG＝DG，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG＝CD＝AB，

∴①正确；

∵AB∥CE，AB＝DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠BCD＝∠BAD＝60°，

∴△ABD、△BCD是等边三角形，

∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，

∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，

④正确；

∴AD⊥BE，

由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

，

∴△ABG≌△DCO（SAS），

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，

∴②不正确；

∵OB＝OD，AG＝DG，

∴OG是△ABD的中位线，

∴OG∥AB，OG＝AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，

∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，

又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，

∴S四边形ODGF＝S△ABF；

③不正确；

正确的是①④．

故选：A．