Question

已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=

 

（s）时，△PBC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；
（2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；
（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；
（4）面积相等．可通过同底等高验证．

解答：解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，
∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，
所以t=

3

2

（2分）

（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ，
3-t=0.5t，所以t=2；
当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
3-t=2t，所以t=1；
所以t=1或2（s）（4分）

（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，
所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，
又因为∠A=60°，
所以AD=2AP，2t+t=3，
解得t=1（s）；（2分）

（4）相等，如图所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，
所以，∠G=∠AEP，
因为

∠G=∠AEP ∠APE=∠CQG AP=CQ

，
所以△EAP≌△GCQ（AAS），
所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．

点评：本题主要考查对于勾股定理的应用和等腰三角形的判定，还要注意三角形面积的求法．