Question

求出满足|12^m-5ⁿ|=7的全部正整数m，n．

Answer 1

分别取m=1，2，3，4，5，有：12¹=12，12²=144，12³=1728，12⁴=20736，12⁵=248832，根据这组数据可以发现12^m的个位数是按照2，4，8，6进行循环的．
分别取n=1，2，3，4，5，有：5¹=5，5²=25，5³=125，5⁴=625，5⁵=3125，根据这组数据可以发现无论n取何正整数，5ⁿ的个位数都是5．
所以当12^m-5ⁿ=7时，12^m的个位上的数应是2，m=1，5，9…等数，取m=1代入12^m-5ⁿ=7，得到n=1；取m=5代入12^m-5ⁿ=7，得到n不是正整数，同理取m=9时得到的n不是正整数，因此要使12^m-5ⁿ=7，那么m=1，n=1．
当12^m-5ⁿ=-7时，即12^m=5ⁿ-7，根据以上两组数的个位上数的变化规律，12^m的个位数只能是8，m=3，7，11…等数，取m=3代入12^m-5ⁿ=-7，得到n不是正整数，同理m=7和m=11时得到的n不是正整数．
故满足|12^m-5ⁿ|=7的正整数只有m=1，n=1．