Question

17．观察下列算式：
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$=？
你能得出什么规律？进而计算下列算式：
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$（n为正整数）．

Answer 1

分析 根据计算，找出规律，然后利用加法的结合律进行简便计算即可．

解答 解：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{3}+\sqrt{4}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$+$\sqrt{4}-\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=$\sqrt{n+1}-1$．

点评 本题主要考查的是二次根式的化简-分母有理化，掌握利用简便的计算方法是解题的关键．