解：（1）△CMF≌△CMN．
理由∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS）；
（2）①∵△CMF≌△CMN，
∴FM=MN，
∵∠CAF=∠B=45°，
∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AM
2+AF
2=FM
2，
∴AM
2+BN
2=MN
2；
②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
则AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，
∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
在△CMF和△CMN中，
，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM=MN，
∵∠ABC=45°，
∴∠CAF=∠CBN=135°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，
∴AM
2+AF
2=FM
2，
∴AM
2+BN
2=MN
2．
分析：（1）根据旋转的性质可得CF=CN，∠ACF=∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN=45°，从而求出∠MCF=45°，然后利用“边角边”可以证明出△CMF和△CMN全等；
（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM=MN，再根据旋转的性质可得AF=BN，∠CAF=∠B=45°，从而求出∠BAF=90°，再利用勾股定理列式即可得解；
②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，根据旋转的性质可得AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，再求出∠MCF=∠MCN，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得MF=MN，然后利用勾股定理列式即可得解．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．
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