Question

【题目】在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；
（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；
③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PE=PF，理由：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，

∴PE=PF

（2）

解：①成立，理由：

∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，

∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，

∴∠DOE+∠AOE=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠FOA+∠AOE=90°，

∴∠FOA=∠DOE，

在△FOA和△EOD中，

，

∴△FOA≌△EOD，

∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，

∵∠DOM=15°，

∴∠AOF=15°，则∠FOG=30°，

∵cos∠FOG= ，

∴OF= = ，又OE=OF，

∴EF= ；

③PE=2PF，

证明：如图3，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2 HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴ = = ，

即PE=2PF，

由此规律可知，当BD=mBP时，PE=（m﹣1）PF．

【解析】（1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；（2）①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD，得到答案；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；③过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BD=mBP时，PE与PF的数量关系．