Question

如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1cm/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC-CD以2cm/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P运动时间为x秒．
（1）当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP=∠BEQ？
（2）设△APE的面积为ycm²，AP=xcm，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）当4＜x＜8时，求函数值y的范围．

Answer 1

解（1）如图1，AP=xcm，BQ=2xcm，
当∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，
∵，
∴△PEB≌△QEB（ASA），
∴PB=BQ，即8-x=2x，
解得：x=，
∴出发秒后，∠BEP=∠BEQ；

（2）当0＜x≤4时，如图2，Q在BC上，过E作EN⊥AB，EM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△QEB，
∴===，
∴=，
∴，
=，
∴NE=2x•=，
∴S_△APE=AP•EN=x•=，
即y=（0＜x≤4），
当4＜x＜8，Q在CD上，作QF⊥AB于F，交BD于H （如图3）
DQ=HQ=16-2x，
∵AD∥FQ，
∴△ADE∽QHE，
∴===，
∴==，
作EN⊥AB，
∵NE∥FQ，
∴△ANE∽△AFQ，
∴=，
∴NE=，
∴S_△APE=AP•EN=x•=，
即y=（4＜x＜8）；

（3）当4＜x＜8时，由y=，
得x=，
由4＜x＜8，
可得4＜＜8，
∵y＞0，
∴16+y＞0，
∴4（16+y）＜12y＜8（16+y），
16+y＜3y＜2（16+y），
即，
解得：8＜y＜32，
当4＜x＜8时，8＜y＜32．
分析：（1）根据∠BEP=∠BEQ，∠ABD=∠DBC=45°，BE=BE，得出△PEB≌△QE，B即可得出PB=BQ求出即可；
（2）分别利用当0＜x≤4时，以及当4＜x＜8，Q在CD上，利用相似三角形性质得出NE的长，进而表示出△APE的面积；
（3）利用当4＜x＜8时，由y=，得x=，即可得出16+y＜3y＜2（16+y），求出即可．
点评：此题主要考查了全等三角形判定、相似三角形的判定与性质以及不等式组的解法等知识，根据已知得出△ANE∽△AFQ，△AED∽△QEB，进而得出NE的长是解题关键．