Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）综合根的判别式及k的要求求出k的取值；
（2）对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；
（3）求出新抛物线与x轴的交点坐标，再分别求出直线y=x+b经过点A、B时的b的取值，进而求出其取值范围．本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值．
解答：解：（1）由题意得，△=16-8（k-1）≥0．
∴k≤3．
∵k为正整数，
∴k=1，2，3；

（2）设方程2x²+4x+k-1=0的两根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=．
当k=1时，方程2x²+4x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，x₁•x₂=，方程2x²+4x+k-1=0没有两个不同的非零整数根；
当k=3时，方程2x²+4x+k-1=0有两个相同的非零实数根-1．
综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意．
当k=3时，二次函数为y=2x²+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x²+4x-6；

（3）设二次函数y=2x²+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A（-3，0），B（1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线y=x+b经过A点时，可得b=；
当直线y=x+b经过B点时，可得b=-．
由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为＜b＜．

（3）依图象得，要图象y=x+b（b小于k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段．
而因式分解得y=2x²+4x-6=2（x-1）（x+3），
第一段，当y=x+b过（1，0）时，有一个交点，此时b=-．
当y=x+b过（-3，0）时，有三个交点，此时b=．而在此中间即为两个交点，此时-＜b＜．
第二段，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，
开口向下的部分的函数解析式为y=-2（x-1）（x+3）． 显然，
当y=x+b与y=-2（x-1）（x+3）（-3＜x＜1）相切时，y=x+b与这个二次函数图象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点．
因为b＜3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以当b=3时，将y=x+3代入二次函数y=-2（x-1）（x+3）整理得，
4x²+9x-6=0，△＞0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点．这种情况故舍去．
综上，-＜b＜．
点评：考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的结合等问题．不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点．