Question

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.

(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）略
（2）证明略
（3）理由略

解：（1）作出圆心O， …………………………………………………1分
以点O为圆心，OA长为半径作圆.…………………………………………1分
（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD="90°."
∴AD是⊙O的直径……………1分
连结OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA="OC,"
∴∠ACO=∠A =30°,…………1分
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO ="120°-30°=90°. "
∴BC⊥OC,
∴BC是⊙O的切线. ……………………………………………1分
（3）存在. ……………………………………………………………………………1分
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B, 即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .
解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB, ，
∵BO=BD+OD=,
∴P1D=×OC=× =.       ……………………………1分
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴，
∵BC＝
∴.………………………………………1分
解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°.
在Rt△B P1D中，
DP1=.                           ………………1分
②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°.
在Rt△B P2D中，
DP2=.                                ……………1分