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如图所示,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合),过点P作PE⊥CP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,
(1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范围;
(2)如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍,求CE的长;
(3)是否存在点P,使△APE沿PE翻折后,点A落在BC上?证明你的结论.
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分析:(1)运用三角形相似,对应边比值相等即可解决,
(2)运用三角形面积的关系得出,对应边的关系,即可解决,
(3)根据相似三角形的判定得出
OA
PA
=
PD
PC
,进而求出关于x的方程,利用根的判别式求出即可.
解答:精英家教网(1)解:∵PE⊥CP,
∴可得:△EAP∽△PDC,
AE
PD
=
PA
CD

又∵CD=2,AD=3,设PD=x,
AE=y,
y
x
=
3-x
2

∴y=-
1
2
x2+
3
2
x

0<x<3;

(2)解:当△PCD的面积是△AEP面积的4倍,
则:相似比为2:1,
AE
PD
=
AP
CD
=
1
2

∵CD=2,
∴AP=1,PD=2,
∴PE=
2
,PC=2
2

∴EC=
10


(3)不存在.
作AF⊥PE,交PE于O,BC于F,连接EF
∵AF⊥PE,CP⊥PE
∴AF=CP=
x2+22

PE=
(3-x)2+y2

∵△CDP∽△POA精英家教网
OA
PA
=
PD
PC

OA=
(3-x)x
x2-22

若OA=
1
2
AF
(3-x)x
x2+22
=
1
2
x2+22

3x2-6x+4=0
△=62-4×4×3=-12
x无解
因此,不存在.
点评:此题主要考查了相似三角形的判定,以及相似三角形面积比是相似比的平方.
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,BD=
 

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