Question

【题目】如图①，抛物线过、两点，交轴于点，连接．

（1）求该抛物线的表达式和对称轴；

（2）点是抛物线对称轴上一动点，当是以为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点的坐标；

（3）如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交与点，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），对称轴为；（2）点的坐标为或；（3）

【解析】

（1）根据抛物线y＝2x2＋bx＋c过A（1，0）、B（3，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴；

（2）根据题意，可知分两种情况：和，然后利用勾股定理可求得点D的坐标；

（3）在线段上方的抛物线图象取点的对称点，过点作轴的平行线交直线于点，求出，求出直线BC的解析式，设点的坐标为，得到点的坐标为，得到，，利用列出方程求出n，得到 ，再求出OE，即可得解．

（1）将、代入得：

，

解得：

∴抛物线的解析式为．

∴对称轴为

（2）当时，，即点的坐标为

设点坐标为

∴；

①当时，

∴

解得：

∴此时点的坐标为；

②当时，

∴

解得：

∴此时点的坐标为；

综上所述：点的坐标为或；

（3）在线段上方的抛物线图象取点的对称点，过点作轴的平行线交直线于点．

∴设直线的表达式为

将、代入得：

，解得：

∴直线的表达式为

∵翻折

∴，

∵轴

∴

∴

∴

设点的坐标为，则点的坐标为

∴

∵

∴

解得：（舍去），

∴

∴

∵

∴

∴点的坐标为．