Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．

Answer 1

分析：根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．

解答：证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．

点评：本题利用了：
①三角形中位线的性质．
②直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半．
③等边对等角．
④平行四边形的性质和判定．
⑤内错角相等，两直线平行．