Question

（2012•长春一模）感知：如图①，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，易知△ADE≌△DBF．
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在?ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数．

Answer 1

分析：探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；  
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA=OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．

解答：解：
探究：△ADE和△DBF全等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴AB=AD=BD．
∴△ABD为等边三角形．              
∴∠DAB=∠ADB=60°．
∴∠EAD=∠FDB=120°．                
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DBF；                            
拓展：
∵点O在AD的垂直平分线上，
∴OA=OD．                                                  
∴∠DAO=∠ADB=50°．
∴∠EAD=∠FDB．
∵AE=DF，AD=DB，
∴△ADE≌△DBF．                        
∴∠DEA=∠AFB=32°．                                       
∴∠EDA=18°．

点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目综合性很强，但难度不大．