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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AC平分∠BAD;AD⊥CD,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的直径为5,CD=2.求AC的长.
分析:(1)连结OC,根据角平分线定义得∠DAC=∠OAC,而∠OAC=∠OCA,则∠DAC=∠OCA,所以可判断AD∥OC,由于AD⊥DC,则OC⊥DC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)根据圆周角定理由AB是直径,∠ACB=90°,易证得△ADC∽△ACB,利用相似比得AC2=AD•AB=5AD,然后在Rt△ADC中利用勾股定理可计算出AD,于是
利用AC2=5AD可计算出AC.
解答:(1)证明:连结OC,如图,
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠OAC,
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC,
∵AD⊥DC,
∴OC⊥DC,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:连接BC,如图,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACB=∠ADC,
∵∠OAC=∠DAC,
∴△ADC∽△ACB,
AD
AC
=
AC
AB
,即AC2=AD•AB=5AD,
在Rt△ADC中,∵AC2=AD2+DC2
∴AD2+4=5AD,即AD2-5AD+4=0,解得AD=4或AD=1,
当AD=4时,AC2=5×4=20,AC=2
5

当AD=1时,AC2=5×1=5,AC=
5

即AD的长为
5
或2
5
点评:本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质.
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  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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