Question

我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=-（x-30）²+10万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=-（50-x）²+（50-x）+308万元．
（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．

Answer 1

解：（1）若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P=-（x-30）²+10知
只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元
则10年的最大利润为M₁=10×10=100万元；

（2）若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：
P=-（25-30）²+10=9.5万元，
则前5年的最大利润为M₂=9.5×5=47.5万元．
设后5年中每年x万元是用于本地销售的投资
则由Q=-（50-x）²+（50-x）+308知，将余下的（50-x）万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润．
则后5年的利润是：
M₃=[-（x-30）²+10]×5+（-x²+x+308）×5
=-5（x-20）²+3500．
故当x=20时，M₃取得最大值为3500万元．
所以，10年的最大利润为M=M₂+M₃=3500+47.5=3547.5万元；

（3）因为3547.5＞100
故该项目有极大的开发价值．
分析：（1）若不进行开发，则从P=-（x-30）²+10可得解；
（2）若对该产品开发，则要分前5年与后5年的投资所得利润，然后相加可得；
（3）项目开发主要是为了利润，如果利润够大就具有开发的价值．
点评：本题考查的二次函数的实际运用，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生从实际出发的思路．