Question

4．如图所示．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（6，6）．作正方形OBAC，点D坐标为（8，2），作正方形BEDF．连结OA，EF．点P，Q，R分别为OA，EF，OF的中点，连结PQ，PR，QR．
（1）求点Q坐标；
（2）求PR的长；
（3）求△PQR的面积；
（4）点S在正方形OBAC或正方形BEDF的边上，若以点P，Q，S为顶点的三角形有一个内角为45°，求S点的坐标．

Answer 1

分析 （1）作垂线段QG，分别求OG和QG的长，就可以表示Q的坐标；
（2）在Rt△RPH中，由勾股定理可以求得PR的长；
（3）证明△PHR≌△RGQ，得PR=RQ，∠PRH=∠RQG，则△PQR是等腰直角三角形，可求S_△PRQ；
（4）分两种情况：
①当S与R重合时，如图2，由（3）可知，此时点S的坐标为（4，0）；
②如图3，取AE的中点S，组成△SPQ，证明四边形PRQS是平行四边形，得出S的坐标．

解答 解：（1）如图1，过Q作QG⊥BF于G，则QG∥EB，
∵Q是EF的中点，
∴G为BF的中点，
∴QG是△EBF的中位线，
∵A（6，6），D（8，2），
∴OB=6，BF=EB=2，
∴QG=$\frac{1}{2}$BE=1，BG=FG=1，
∴Q（7，1）；

（2）过P作PH⊥OB于H，
同理得：P（3，3），
∴OH=PH=3，
∵OF=6+2=8，
∴R是OF的中点，
∴OR=4，
∴RH=OR-OH=4-3=1，
在Rt△RPH中，由勾股定理得：PR=$\sqrt{R{H}^{2}+P{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）∵RG=RF-GF=4-1=3，
PH=3，
∴RG=PH=3，
RH=QG=1，
∵∠PHR=∠RGQ=90°，
∴△PHR≌△RGQ，
∴PR=RQ，∠PRH=∠RQG，
∵∠QRG+∠RQG=90°，
∴∠QRG+∠PRH=90°，
∴∠PRQ=90°，
∴S_△PRQ=$\frac{1}{2}P{R}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{10}）^{2}$=5；

（4）分两种情况：
①当S与R重合时，如图2，
由（3）可知：△PQR是等腰直角三角形，
∴∠RPQ=45°，
即∠SPQ=45°，
此时点S的坐标为（4，0）；
②如图3，取AE的中点S，组成△SPQ，连接AF
∵P是OA的中点，R是OF的中点，
∴PR是△OAF的中位线，
∴PR∥AF，PR=$\frac{1}{2}AF$，
同理，SQ是△AEF的中位线，
∴SQ∥AF，SQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴SQ=PR，SQ∥PR，
∴四边形PRQS是平行四边形，且∠SQP=∠QPR=45°；
∴BS=2+2=4，
∴S（6，4）；
综上所述，S点的坐标为（4，0）或（6，4）．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、图形和坐标特点，难度适中，第3问证明△PHR≌△RGQ是关键，还要注意第4问分类讨论，不要丢解