Question

【题目】某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价x（元）不低于60元，而市场要求x不得超过100元．

（1）求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出每天的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出当x为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值；

（3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价x最低可定为多少元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣5x+550．（60≤x≤100）；（2）当x＝80时，y有最大值为4500元；（3）单价x最低可定为85元．

【解析】

（1）由“每增加1元，销量减少5件”可知，单价为x元时增加5（x﹣60）件，用增加的件数加上原销量即可表示出销售量y；

（2）根据“每天利润=（售价﹣成本）×销售量”列出函数解析式，再对二次函数进行配方即可求出利润的最大值；

（3）令W=4000，求出x的值，再根据抛物线图象写出W≥4000时x的取值范围；再根据总成本不超过6250列出不等式，联立两个不等式即可求出x的取值范围，从而确定x的最小值．

（1）y=250﹣5（x﹣60），即y=﹣5x+550（60≤x≤100）；

（2）W=（x﹣50）（﹣5x+550），即y=﹣5x2+800x﹣27500．

配方得：W=﹣5（x﹣80）2+4500．

∵a=﹣5，∴抛物线开口向下，∴当x=80时，y有最大值为4500元；

（3）令W=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得：x1=70，x2=90．

由抛物线图象可知，当W≥4000元时，x的取值范围为70≤x≤90．

又∵50（﹣5x+550）≤6250，解得：x≥85，∴x取值范围为85≤x≤90，∴单价x最低可定为85元．