Question

【题目】如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．

（1）求证：△EBD≌△EBF；

（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝4

【解析】

（1）连接OD、OF，，根据等弧所对的弦相等，可得BD＝BF，再根据弧与圆周角的关系可得∠DBE＝∠EBF，利用SAS可得结论；

（2）先由AE＝1，EB＝5，得到半径OB＝3，则OE＝2，在Rt△EFO中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OG的长，根据勾股定理可计算DG的长，从而得CD的长．

解：（1）连接OD、OF，

∵B是劣弧DF的中点，

∴，

∴，

∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，

在△EBD和△EBF中，

∵，

∴△EBD≌△EBF（SAS）；

（2）∵AE＝1，EB＝5，

∴AB＝6，

∵AB是⊙O的直径，

∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，

过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，

∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，

∴OG＝OE＝1，

由勾股定理得：DG＝＝＝2，

∴CD＝2DG＝4．