Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

【小题1】填空：菱形ABCD的边长是 ▲  、面积是 ▲  、
高BE的长是 ▲  ；
【小题2】探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得▲APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值

Answer 1

【小题1】5,24,
【小题2】①6，②或或.解析:
(1)5,24,
(2) ①由题意，得AP=t,AQ=10-2t,如图1，

过点Q作QGAD,垂足为G,由QGBE得
相似,所以,所以，所以S=()
所以S=(),所以当t=时，S最大值为6
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只要三角形APQ为等腰三角形即可当t=4秒时，因为点P的速度为每秒1个单位。所以AP=4
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时。因为,所以只存在点使如图2，

过点作，垂足为M，交AC于F则由得,所以，所以,则，所以
第二种情况，当点Q在BA上时,存在两点，分别使AP="A" ,PA="P" ①若AP="A" ，如图3，

,则，所以
②若PA=PQ₃，如图4,
过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.           
∴AQ₃=2AN=,  ∴BC+BQ₃=10-
则.∴.         
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.