Question

阅读：在三角形中，我们知道“等角对等边”，“等边对等角”的性质，其实在三角形中“大边对大角”，“大角对大边”也成立，类似的，在同圆中，较大的圆心角所对的弦较大，反之，也成立．
应用：半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．

（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是

 

；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，写出扇形MON的面积的范围，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）①根据切线的性质得OE⊥BE，OF⊥CF，再根据正方形的性质得AD⊥CF，BC⊥CF，且OF=AD=BC=2，由此可判断点O、A、B共线，则OB=OA+AB=4，然后在Rt△BOE中根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到∠EBA=30°；
②由E，A，D三点在同一直线上得EA⊥OB，再证明Rt△OAE∽Rt△OEB，利用相似比得到

OA

2

=

2

OA+2

，变形得OA²+2OA-4=0，然后解方程即可；
（2）连接MN，如图，设∠MON=n°，根据扇形面积公式得S_扇形MON=

nπ

90

，则当n越小，S_扇形MON越小；n越大，S_扇形MON越大；根据阅读内容得到当MN越小，n越小；MN越大，n越大；当点N在F点，点M在点B处，此时MN最大，此时n=90，所以S_扇形MON的最大值=π；当MN∥CD时，MN最小，可判断△OMN为等边三角形，此时n=60，所以S_扇形MON的最小值=

2

3

π，于是得到

2

3

π≤S_扇形MON≤π．

解答：解：（1）①∵BE为⊙O的切线，⊙O与l相切于点F，
∴OE⊥BE，OF⊥CF，
∵四边形ABCD为边长为2的正方形，
∴AD⊥CF，BC⊥CF，且OF=AD=BC=2，
∴点O、A、B共线，
而点A在⊙O上，
∴OA=2，
∴OB=OA+AB=2+2=4，
在Rt△BOE中，OE=2，OB=4，
∴∠EBO=30°，即∠EBA=30°，
故答案为30°；
②∵E，A，D三点在同一直线上，
而四边形ABCD为边长为2的正方形，
∴EA⊥OB，
∴∠OAE=90°，
∵OE⊥BE，
∴∠OEB=90°，
而∠AOE=∠EOB，
∴Rt△OAE∽Rt△OEB，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，即

OA

2

=

2

OA+2

，
∴OA²+2OA-4=0，
解得OA=

5

-1；
（2）连接MN，如图，设∠MON=n°，
S_扇形MON=

n•π•22

360

=

nπ

90

，
当n越小，S_扇形MON越小；n越大，S_扇形MON越大；
而MN越小，n越小；MN越大，n越大，
当点N在F点，点M在点B处，此时MN最大，n=90，S_扇形MON的最大值=

90•π

90

=π；
当MN∥CD时，MN最小，MN=CD=2，则△OMN为等边三角形，n=60，S_扇形MON的最小值=

60π

90

=

2

3

π，
所以

2

3

π≤S_扇形MON≤π．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、正方形的性质和扇形的面积公式；会运用含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行计算．