解:(1)如图,过Q点作QE⊥AB于E.假设点A(x
1,0)、点B(x
2,0),
∵AQ⊥BQ,EQ⊥AB,
∴Rt△AEQ∽Rt△QEB,
∴EQ
2=AE•BE,
又∵AE•BE=(2-x
1)(x
2-2)=-x
1x
2+2(x
1+x
2)-4=
-4,CQ=|k|,
∴k
2=
-4,
∴-ak
2=4a+2b+c,
∵点Q是抛物线上一点,
∴4a+2b+c=k.
∴-ak
2=k,
即ak=-1.
故答案为:-1.
(2)①
,
解得:
,
∴y=-x
2+2x+3;
②连接AM交y轴于P,由等腰梯形的对称性得AP=CP,
设OP=m,则1+m
2=(3-m)
2,
解得:
,
则点P坐标为(0,
)
设直线AM的解析式为y=px+q,则
,
解得
,
∴直线AM的解析式为
,
解方程组
,
得
或
(舍)
∴点M(
,
).
分析:(1)首先过Q点作QE⊥AB于E.结合AQ⊥BQ,不难证得Rt△AEQ∽Rt△AQB,进而得到EQ
2=AE•BE.分别用A、B、Q点的横坐标表示AE•BE=(2-x
1)(x
2-2)=-x
1x
2+2(x
1+x
2)-4.由于A、B两点是抛物线y=ax
2+bx+c与x轴的交点,利用根与系数的关系,不难得到x
1+x
2=
,x
1x
2=
.根据已知Q(2,k)是该抛物线上一点,可得到4a+2b+c=k.将x
1•x
2 、x
1+x
2代入AE•BE的代数式结合4a+2b+c=k即可求得ak的值.
(2)①由于用A、B、C三点在抛物线y=ax
2+bx+c上,将三点的坐标值代入联立组成方程组可解得a、b、c的值.则抛物线的解析式即可确定.
②连接AM交y轴于P,由等腰梯形的对称性得AP=CP.因而利用勾股定理可求得P点的坐标值,那么A、P两点的坐标可求得直线AP的解析式.M点为直线AP与抛物线的交点,联立组成方程组即可解得M点的坐标.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、等腰梯形的对称性、相似三角形的判定与性质等知识点.主要考查学生数形结合的数学思想方法.