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(1)已知:如图①,△AOB和△COD都是等边三角形.
求证:(1)①AC=BD,②∠APB=60°;
(2)如图②,△AOB和△COD都是等腰三角形,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______,∠APB的大小为______;
(3)如图③,在△AOB与△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______,∠APB的大小为______.

注:第(2)、(3)小题请将答案直接写在题中横线上.

解:(1)①又∵△AOB和△COD都为等边三角形,
∴∠AOB=∠COD=60°,OA=OB,OC=OD,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
即∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,

∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD;
②由△AOC≌△BOD,得∠OAC=∠OBD,
又∠AEO=∠PEB,∠APB=180°-(∠BEP+∠OBD),
∠AOB=180°-(∠OAC+∠AEO),
∴∠APB=∠AOB=60°;


(2)∵∠AOB=∠COD=α,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
即∠AOC=∠BOD,
又∵△AOB和△COD都为等腰三角形,
∴OA=OB,OC=OD,
在△AOC和△BOD中,

∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD;
由△AOC≌△BOD,得∠OAC=∠OBD,
又∠AEO=∠PEB,∠APB=180°-(∠BEP+∠OBD),
∠AOB=180°-(∠OAC+∠AEO),
∴∠APB=∠AOB=α;

(3)∵∠AOB=∠COD=α,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
即∠AOC=∠BOD,
又OA=k•OB,OC=k•OD,

∴△OAC∽△OBD,
,即AC=k•BD
∴∠ACO=∠BDO,
又∠OED=∠PEC,
∴∠DPC=∠COD=α,
则∠APB=180°-α.
故答案为:(2)AC=BD,α;(3)AC=k•BD,180°-α
分析:(1)分析结论AC=BD可知,需要证明△AOC≌△BOD,围绕这个目标找全等的条件,由△AOB和△COD都是等边三角形,可得OA=OB,OD=OC,且∠AOB=∠COD=60°等号两边同时加上∠BOC,可得∠AOC=∠BOD,然后利用SAS可得△AOC≌△BOD,根据全等三角形的对应边相等得证;
(2)与图①比较,图形条件发生了变化,仍然可以证明△AOC≌△BOD,方法类似;
(3)由∠AOB=∠COD可得∠AOC=∠BOD,再由OA=k•OB,OC=k•OD,可得两边对应成比例,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,可得△AOC∽△BOD,根据相似三角形的对应边成比例可得AC=k•BD,同时根据相似三角形的对应角相等可得∠ACO=∠BDO,再由一对对顶角相等,利用三角形的内角和定理可得∠DPC=∠COD=α,最后根据邻补角定义可表示出∠APB的度数.
点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
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