Question

如图，抛物线y=-x²+4的顶点是A，抛物线与x轴的交点是B和C，D、E是抛物线上的两点（不同于B、C），连接DE与y轴交于F，DE∥x轴．设点D的横坐标为k（k＞0）．
（1）写出A点的坐标；
（2）求△ADE的面积（用k的代数式表示）；
（3）求四边形DBCE的面积（用k的代数式表示）；
（4）k为何值时，五边形ADBCE的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）由抛物线的解析式即可得出答案；
（2）先求出DE的长，再求出高AF的长，利用面积公式得出答案；
（3）四边形DBCE为梯形，利用梯形的面积求法即可求出；
（4）用k表示出五边形ADBCE的面积，后利用二次函数的性质求解．

解答：解：（1）A（0，4）（1分）

（2）把x=k代入y=-x²+4
得y=4-k²
∴D（k，4-k²）E（-k，4-k²）（1分）
DE=2k
AF=4-（4-k²）=k²（2分）
∴S_△ADE=

1

2

•2k•k2=k3（3分）

（3）当y=0时，由y=-x²+4得x=±2
∴B（2，0）C（-2，0）（1分）
∴BC=4
∵DE=2kOF=4-k²（2分）
∴S_{四边形BDEC}=

1

2

(4+2k)(4-k2)=-k3-2k2+4k+8（3分）

（4）设五边形ADBCE的面积为S，
则S=k³+（-k³-2k²+4k+8）=-2k²+4k+8=-2（k-1）²+10，（1分）
当k=1时，S_最大=10，
即当k=1时，五边形ADBCE的面积最大，最大面积是10．（2分）

点评：本题考查了二次函数的知识，难度适中，注意数形结合思想的应用．