Question

12．已知一个关于有理数a公式：a+a²+a³+…+aⁿ=$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$（a≠1）．
（1）求10+10²+10³+…+10ⁿ的值．
（2）求9+99+999+…+$\underset{\underbrace{9…9}}{n}$的值．
（3）求6+66+666+…+$\underset{\underbrace{6…6}}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接套用公式将a=10代入即可得；
（2）由原式变形为10-1+10²-1+10³-1+…+10ⁿ-1=10+10²+10³+…+10ⁿ-（1+1+…+1），利用公式求解可得；
（3）将原式变形为9×$\frac{6}{9}$+99×$\frac{6}{9}$+999×$\frac{6}{9}$+…+$\underset{\underbrace{9…9}}{n}$×$\frac{6}{9}$=$\frac{6}{9}$×（9+99+999+…+$\underset{\underbrace{9…9}}{n}$），再根据（2）中结果可得．

解答 解：（1）由题意知，10+10²+10³+…+10ⁿ=$\frac{10（1-1{0}^{n}）}{1-10}$=$\frac{1{0}^{n+1}-10}{9}$；

（2）原式=10-1+10²-1+10³-1+…+10ⁿ-1
=10+10²+10³+…+10ⁿ-（1+1+…+1）
=$\frac{1{0}^{n+1}-10}{9}$-n
=$\frac{1{0}^{n+1}-10-9n}{9}$；

（3）原式=9×$\frac{6}{9}$+99×$\frac{6}{9}$+999×$\frac{6}{9}$+…+$\underset{\underbrace{9…9}}{n}$×$\frac{6}{9}$
=$\frac{6}{9}$×（9+99+999+…+$\underset{\underbrace{9…9}}{n}$）
=$\frac{6}{9}$×$\frac{1{0}^{n+1}-10-9n}{9}$
=$\frac{2×1{0}^{n+1}-18n-20}{27}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，掌握等比数列的求和公式并熟练将原式变形是解题的关键．