Question

8．请你求出$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值为5．

Answer 1

分析 求$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值，也就是求$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$的最小值，如图，建立平面直角坐标系，点P（0，x）是y轴上一点，则原式可以看成点P到点A（1，0）和点B（2，4）的长度之和，即PA+PB的最小值，利用轴对称解答即可．

解答 解：∵求$\sqrt{1+{x}^{2}}$+$\sqrt{4+（4-x）^{2}}$的最小值，
也就是求$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$+$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$的最小值，
如图，建立平面直角坐标系，点P（0，x）是y轴上一点，

∴$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-x）^{2}}$可以看成点P与点A（1，0）的距离，$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-x）^{2}}$可以看成点P与点B（2，4）的距离，
∴原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∵求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
作BC⊥x轴于点C，
则BC=4、A′C=3，
∴A′B=5，即PA+PB的最小值为5，
故答案为：5．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题、勾股定理，将代数问题转化为几何问题，正确的画出图形是解题的关键．