Question

16．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

Answer 1

分析 （1）先根据EQ⊥BP，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；
（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=$\frac{1}{2}$BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4$\sqrt{10}$，再根据EQ=EF-QF即可得出结论．

解答 （1）证明：∵EQ⊥BP，EH⊥AB，
∴∠EQN=∠BHM=90°．
∵∠EMQ=∠BMH，
∴△EMQ∽△BMH，
∴∠QEM=∠HBM．
在Rt△APB与Rt△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠PAB=∠FHE\\ AB=EH\end{array}\right.$，
∴△APB≌△HFE，
∴HF=AP；

（2）解：由勾股定理得，BP=$\sqrt{{AP}^{2}+{AB}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{12}^{2}}$=4$\sqrt{10}$．
∵EF是BP的垂直平分线，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BP=2$\sqrt{10}$，
∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2$\sqrt{10}$×$\frac{4}{12}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
由（1）知，△APB≌△HFE，
∴EF=BP=4$\sqrt{10}$，
∴EQ=EF-QF=4$\sqrt{10}$-$\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{10\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．