Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线过C点，可得出c=-3，对称轴x=1，则-

b

2a

=1，然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中，联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是要确定P点的位置，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此可连接AC，那么P点就是直线AC与对称轴的交点．可根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式，进而可根据抛物线对称轴的解析式求出P点的坐标．
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心必在对称轴上．因此可用半径r表示出M、N的坐标，然后代入抛物线中即可求出r的值．

解答：解：（1）将C（0，-3）代入y=ax²+bx+c，
得c=-3．
将c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c，
得9a+3b+c=0．（1）
∵直线x=1是对称轴，
∴-

b

2a

=1．（2）（2分）
将（2）代入（1）得
a=1，b=-2．
所以，二次函数得解析式是y=x²-2x-3．

（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．
∵C点的坐标为（0，-3），A点的坐标为（-1，0），
∴直线AC的解析式是y=-3x-3，
又∵直线x=1是对称轴，
∴点P的坐标（1，-6）．

（3）设M（x₁，y）、N（x₂，y），所求圆的半径为r，
则x₂-x₁=2r，（1）
∵对称轴为直线x=1，即

x1+x2

2

=1，
∴x₂+x₁=2．（2）
由（1）、（2）得：x₂=r+1．（3）
将N（r+1，y）代入解析式y=x²-2x-3，
得y=（r+1）²-2（r+1）-3．
整理得：y=r²-4．
由所求圆与x轴相切，得到r=|y|，即r=±y，
当y＞0时，r²-r-4=0，
解得，r1=

1+ 17

2

，r2=

1- 17

2

（舍去），
当y＜0时，r²+r-4=0，
解得，r1=

-1+ 17

2

，r2=

-1- 17

2

（舍去）．
所以圆的半径是

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、轴对称图形等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．