【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx+4的顶点坐标为(3,),与y轴交于点A.过点A作AB∥x轴,交抛物线于点B,点C是第四象限的抛物线上的一个动点,过点C作y轴的平行线,交直线AB于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点E在y轴的负半轴上,且AE=AD,直线CE交抛物线y=ax2+bx+4于点F.
①求点F的坐标;
②过点D作DG⊥CE于点G,连接OD、ED,当∠ODE=∠CDG时,求直线DG的函数表达式.
【答案】(1);(2)①F(4,6);②
【解析】
(1)首先根据抛物线的顶点可设出该抛物线的顶点式为,据此进一步将其化为一般式,利用其常数项为4得出关于a的方程,最后进一步分析求解即可;
(2)①设C(m,),由此分析得出E(0,4m),接着求出CE的解析式,然后进一步得出点F的横坐标为4,据此根据抛物线解析式进一步求解即可得出答案;②如图,过E作EH⊥CD于H,交DG于Q,连接OQ,证明四边形AEHD是正方形求出∠ODQ,进一步证明,,,由此表示出OE,EQ,OQ的长,在中,由勾股定理得:,据此列方程得出m的值,确定D和Q的坐标,利用待定系数法进一步求解即可得出答案.
(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,),
∴设该抛物线顶点式为,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴抛物线解析式为;
(2)如图1,设C(m,);
∵AD=AE,AD∥x轴,CD∥y轴,
∴AD=AE=m,
∵OA=4,
∴OE=m4,
∵点E在y轴的负半轴上,
∴E(0,4m),
设CE的解析式为:,
则,
解得,
∴CE的解析式为:,
∴
∴
∴化简变形可得:,
∴,,
即点F横坐标为4,
∴纵坐标为:,
∴定点F(4,6);
②如图2,过E作EH⊥CD于H,交DG于Q,连接OQ,
由①知:OE=m4,
∵∠DAE=∠ADH=∠EHD=90°,AD=AE,
∴四边形AEHD是正方形,
∴∠EDH=45°,AD=AE=DH=EH,
∵∠ODE=∠CDG,
∴∠ODE+∠EDQ=∠EDQ+∠CDG=45°,
即∠ODQ=45°,
∴∠ADO+∠CDG=45°,
在OA的延长线上取AP=QH,连接PD,
∵∠PAD=∠QHD=90°,AD=DH,
∴,
∴PD=DQ,∠ADP=∠CDG,AP=QH,
∴∠ADP+∠ADO=45°=∠ODQ,
∵OD=OD,
∴,
∴OP=OQ,
∵EH=DH,∠EHC=∠DHQ,∠GEH=∠CDG,
∴,
∴CH=QH==AP,
∴OQ=OP=,
∵OE=m4,EQ=EHQH==,
在中,由勾股定理得:,
∴,
∴,
解得:(舍去),,(舍去),
∴D(12,4),Q(6,8),
设直线DG的解析式为:,
则,
解得:,
∴直线DG的解析式为:.
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【题目】为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题:
知识竞赛成绩分组统计表
组别 | 分数/分 | 频数 |
A | 60≤x<70 | a |
B | 70≤x<80 | 10 |
C | 80≤x<90 | 14 |
D | 90≤x≤100 | 18 |
(1)本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩;
(2)表1中a= ;
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ;
(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有 人.
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【题目】设a1=32﹣12,a2=52﹣32,a3=72﹣52…,容易知道a1=8,a2=16,a3=24,如果一个数能表示为8的倍数,我们就说它能被8整数,所以a1,a2,a3都能被8整除.
(1)试探究an是否能被8整除,并用文字语言表达出你的结论.
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”,试找出a1,a2,a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并说出当n满足什么条件时,an为完全平方数.
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【题目】一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12cm(如图1),点G为边BC(EF)的中点,边FD与AB相交于点H,此时线段BH的长是_____.现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图2),在∠CGF从0°到60°的变化过程中,点H相应移动的路径长共为_____.(结果保留根号)
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为A(3,0),下列说法错误的是( )
A.b2>4acB.abc<0
C.4a﹣2b+c>0D.当x<﹣1时,y随x的增大而增大
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,BE、CF交于点G.若使,那么平行四边形ABCD应满足的条件是【 】
A.∠ABC=60° B.AB:BC=1:4 C.AB:BC=5:2 D.AB:BC=5:8
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【题目】如图,在一单位为1的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0),A2(1,﹣1),A3(0,0),则依图中所示规律,A2019的坐标为_____.
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【题目】定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
理解:
如图1,点在上,的平分线交于点,连接求证:四边形是等补四边形;
探究:
如图2,在等补四边形中连接是否平分请说明理由.
运用:
如图3,在等补四边形中,,其外角的平分线交的延长线于点求的长.
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【题目】如图,抛物线经过,,与y轴交于点C,点P是抛物线上BC上方的一个动点.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式:
(2)当PAC的面积时,求点P的坐标;
(3)若抛物线上有另一动点Q,满足BC平分,过点O作PQ的平行线交抛物线于点D,求点D的坐标.
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