Question

如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O₁交AC的延长线于点F，连接EF、DF．
（1）求证：△AEF∽△FED；
（2）若AD=6，DE=3，求EF的长；
（3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可通过证两组对应角相等来证两三角形相似．
（2）根据（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF这三条线段的比例关系，有了AD，DE的长，即可求出EF的值．
（3）可通过证角的关系来得出三角形的形状．

解答：（1）证明：连接两圆的相交弦CE，
在圆O₁中，∠EFD=∠DCE，
在圆O中，∠BAE=∠DCE，
∴∠EFD=∠BAE．
∵AE是∠BAC角平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠EFD．
∵∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED．

（2）解：∵△AEF∽△FED，
∴

DE

EF

=

EF

AE

．
∴EF²=AE•DE=（AD+DE）•DE=（6+3）×3=27，
∴EF=3

3

．

（3）解：△ABE为等腰三角形．理由如下：
∵ABCE是圆内接四边形，
∴∠FCE=∠ABE．
∵DF∥BE，∠FDE=∠AEB，
又∵∠FCE=∠EDF，
∴∠AEB=∠ABE．
∴△ABE为等腰三角形．

点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．根据圆周角得出相关的角相等是解题的关键．