Question

26、如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于点D，DE⊥OC，垂足为E．
求证：（1）AD=CD；（2）DE是⊙O₁的切线．

Answer 1

分析：（1）连接OD、O₁D，根据圆周角定理得出∠ODA=90°，根据垂径定理即可得到答案；
（2）连接O₁D，根据三角形的中位线定理推出O₁D∥OC，由DE⊥OC得到O₁D⊥DE，根据切线的判定即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OD、O₁D，
∵OA是圆O₁的直径，
∴∠ODA=90°，
即：OD⊥AC，
∵OD过圆心O，
∴AD=DC．

（2）证明：∵AD=DC，O₁A=O₁O，
∴O₁D∥OC，
∵DE⊥OC，
∴O₁D⊥DE，
∵O₁D是半径，
∴DE是⊙O₁的切线．

点评：本题主要考查对圆周角定理，三角形的中位线定理，平行公理及推论，切线的判定，垂线的定义等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键，题目比较典型，难度适中．