Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上.若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点、的“涵矩形”.下图为点，的“涵矩形”的示意图.

（1）点的坐标为.

①若点的横坐标为，点与点重合，则点、的“涵矩形”的周长为__________.

②若点，的“涵矩形”的周长为，点的坐标为，则点，，中，能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是_________.

（2）四边形是点、的“涵矩形”，点在的内部，且它是正方形.

①当正方形的周长为，点的横坐标为时，求点的坐标.

②当正方形的对角线长度为时，连结.直接写出线段的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①． ②；（2）①点的坐标为或．②．

【解析】

(1)①利用A、B的坐标求出直线AB的解析式，再将P点横坐标代入，计算即可得点、的“新矩形”的周长；②由直线AB的解析式判定是否经过E、F、G三点，发现只经过了F（1，2），能够成为点、的“涵矩形”的顶点的是F（1，2）

（2）①①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由的横坐标为，可得出点P的坐标，再由正方形的周长可得出点Q的坐标，进而可得出点Q的坐标；②由正方形的对角线长度为，可得正方形的边长为1，由直线AB的解析式y=-x+6可知M点的运动轨迹是直线y=-x+5，由点在的内部，x的取值范围是0<x<5,OM＜5，OM最小值是由O向直线y=-x+5作垂线段，此时OM= ，可得OM的取值范围.

（1）①解：由A(0,6),B(3，0)可得直线AB的解析式为：y=-2x+6，

∵P点横坐标是

∴当x=时，y=3

∴P（，3）．

∵ 点与点重合，

∴Q（3，0）

∴点、的“涵矩形”的宽为：3-=，长为3-0=3

∴点、的“涵矩形”的周长为：

故答案为：9

②．由①可得直线AB的解析式为：y=-2x+6可设Q(a,-2a+6),则成为点、的“涵矩形”的顶点且在AOB内部的一点坐标为M（1，-2a+6）

∴PM=4-(-2a+6)=2a-2，MQ=a-1

∵点，的“涵矩形”的周长为

∴PM+MQ=3

∴2a-2+a-1=3

解得：a=2

∴M(1,2)

故答案为：F(1,2),只写或也可以.

（2）①点、的“涵矩形”是正方形，

，

点的坐标为，

点的坐标为 ，

直线的函数表达式为．

点的横坐标为，

点的坐标为．

正方形的周长为，

点的横坐标为或，

点的坐标为或．

②∵正方形的对角线长度为，

∴可得正方形的边长为1，

因为直线AB的解析式y=-x+6可设M点的运动轨迹是直线y=-x+b，且过（0，5）

故M点的运动轨迹是直线y=-x+5

∵点在的内部，x的取值范围是0<x<5,

∴当M落在OB或者OA边上时，OM取得最大值，此时OM=5,由于点在的内部，

∴OM＜5，

当OM⊥直线y=-x+5时，OM取得最小值，此时OM= ，

∴OM的取值范围.．

故答案为：