Question

【题目】已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上

（1）求抛物线的解析式；

（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围　 　；

（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）﹣≤y＜4；（3）6．

【解析】

（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．

（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．

（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A（1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．

解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，

∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0

解得m＝±1．

又∵开口向上，

∴﹣m＞0，

∴m＜0，

∴m＝﹣1，

∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．

（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，

∴x＝时，y最小值为﹣，

x＝0时，y＝0，

x＝4时，y＝4，

∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．

故答案为﹣≤y＜4．

（3）如图，

∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，

∴B（1，0），C（2，0），

∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，

∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），

∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，

∴四边形ABCD的周长为6，

当BC＝1时，矩形的周长为6．