Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：计算题,几何图形问题,数形结合

分析：（1）首先延长CE交⊙O于点M，由AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB，易得

CD

=

BM

，即可得∠BCM=∠CBD，继而证得CF=BF；
（2）首先连接AC，易证得Rt△ADB∽Rt△FEB，△EBC∽△ECA，然后由相似三角形的对应边成比例与勾股定理，求得答案．

解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴

BC

=

BM

，
∵C是

BD

的中点，
∴

BC

=

CD

，
∴

CD

=

BM

，
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；

（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴

AD

EF

=

AB

BF

，
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴

2

EF

=

8

BF

，
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE=

BF2-EF2

=

15

EF，
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴

CE

AE

=

BE

CE

，
∴CE²=AE•BE，
∴（CF+EF）²=（8-BE）•BE，
∴25EF²=（8-

15

EF）•

15

EF，
∴EF=

15

5

，
∴BC=

BE2+CE2

=2

6

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．