考点:圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系
专题:计算题,几何图形问题,数形结合
分析:(1)首先延长CE交⊙O于点M,由AB是⊙O的直径,C是
的中点,CE⊥AB,易得
=
,即可得∠BCM=∠CBD,继而证得CF=BF;
(2)首先连接AC,易证得Rt△ADB∽Rt△FEB,△EBC∽△ECA,然后由相似三角形的对应边成比例与勾股定理,求得答案.
解答:(1)证明:延长CE交⊙O于点M,
∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB,
∴
=
,
∵C是
的中点,
∴
=
,
∴
=
,
∴∠BCM=∠CBD,
∴CF=BF;
(2)解:连接AC,
∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB,
∴∠BEF=∠ADB=90°,
∵∠ABD=∠FBE,
∴Rt△ADB∽Rt△FEB,
∴
=,
∵AD=2,⊙O的半径为4,
∴AB=8,
∴
=,
∴BF=4EF,
又∵BF=CF,
∴CF=4EF,
利用勾股定理得:BE=
=
EF,
又∵∠ACB=∠CEB=90°,∠ABC=∠CBE,
∴△EBC∽△ECA,
∴
=,
∴CE
2=AE•BE,
∴(CF+EF)
2=(8-BE)•BE,
∴25EF
2=(8-
EF)•
EF,
∴EF=
,
∴BC=
=2
.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.