Question

12．（1）解下列方程．
①x²-6x-5=0；    
②2（x-1）²=3x-3．
（2）在等腰三角形ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）①由a=1，b=-6，c=-5，得出△=36-4×1×（-5）=56＞0，再代入求根公式求解即可；
②先移项，使方程的右边化为零，再将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，然后解这两个一元一次方程即可．
（2）先由关于x的一元二次方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，得出根的判别式△=0，据此求出b的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

解答 解：（1）①x²-6x-5=0，
∵a=1，b=-6，c=-5，
∴△=36-4×1×（-5）=56，
∴x=$\frac{6±\sqrt{56}}{2}$=3±$\sqrt{14}$，
∴x₁=3+$\sqrt{14}$，x₂=3-$\sqrt{14}$；

②2（x-1）²=3x-3，
2（x-1）²-（3x-3）=0，
（x-1）（2x-2-3）=0，
x-1=0，2x，5=0，
x₁=1，x₂=2.5；

 （2）∵关于x的方程x²+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）²-4（6-b）=0，即b²+8b-20=0；
解得b=2，b=-10（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+2=12．

点评 此题考查了一元二次方程的解法，根的情况与根的判别式（△=b²-4ac）之间的关系、根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．