Question

如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF=PF-AP，PF=PD=

4+1

=

5

，则AM=AF=

5

-1，DM=AD-AM=3-

5

；
（2）根据（1）中的数据得：

AM

AD

=

5 -1

2

，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．

解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=

AD2+AP2

=

4+1

=

5

，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

5

-1，
DM=AD-AM=3-

5

．
故AM的长为

5

-1，DM的长为3-

5

；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于

AM

AD

=

5 -1

2

，
∴点M是AD的黄金分割点．

点评：此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．