Question

12．如图，在Rt△ABC中，AC=h cm，四边形DEFC是矩形，且点D、E、F在△ABC的边上，设AD=x cm，CF=$\frac{20x}{h}$cm，矩形DEFC的面积为y cm²．
（1）当h=30cm时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当h=30cm时，若y=96cm²，求x的值；
（3）h取何值时，y的最大值为180cm²？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知：DE∥CF，由此可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得y与x之间的函数关系式；
（2）把h=30cm时，y=96cm²，代入（1）中的函数关系求出x的值即可；
（3）由（1）的思路可得到y和h的函数关系，利用函数的性质即可求出y的最大值为180cm²时，h的值．

解答 解：（1）∵四边形DEFC是矩形，
∴DE∥CF，DE=CF=$\frac{20x}{h}$cm，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{x}{30}=\frac{\frac{20x}{30}}{BC}$，
∴BC=20，
∵CD=30-x，
∴y=$\frac{2}{3}$x（30-x）=-$\frac{2}{3}$x²+20x；

（2）当h=30cm时，y=96cm²时，则96=-$\frac{2}{3}$x²+20x，
解得：x=24或6；

（3）∵由（1）可知$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{x}{h}$=$\frac{h-x}{20}$，
∴y=-$\frac{20}{h}$x²+20x，
当x=-$\frac{20}{2×\frac{20}{-h}}$=$\frac{1}{2}$h时，y的取值最大为：5h，
∴y的最大值为180cm²时则5h=180，
∴h=36．

点评 本题主要考查了矩形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值问题，利用数形结合找出相似三角形是解题的关键．