Question

如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线y=

2

3

x2于P，Q两点．
（1）求证：∠ABP=∠ABQ；
（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线y=

2

3

x2的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．

解答：（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．
设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）．
设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_Q，y_Q）．由

y=kx+t y= 2 3 x2

，
得

2

3

x2-kx-t=0，
于是xPxQ=-

3

2

t，即t=-

2

3

xPxQ．
于是

BC

BD

=

yP+t

yQ+t

=

2 3 xP2+t

2 3 xQ2+t

=

2 3 xP2- 2 3 xPxQ

2 3 xQ2- 2 3 xPxQ

=

2 3 xP(xP-xQ)

2 3 xQ(xQ-xP)

=-

xP

xQ

．，
又因为

PC

QD

=-

xP

xQ

，所以

BC

BD

=

PC

QD

．
因为∠BCP=∠BDQ=90°，
所以△BCP∽△BDQ，
故∠ABP=∠ABQ；

（2）解：设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知
∠ABP=∠ABQ=30°，BC=

3

a，BD=

3

b，
所以AC=

3

a-2，AD=2-

3

b．
因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．
于是

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

b

=

3 a-2

2- 3 b

，
所以a+b=

3

ab．
由（1）中xPxQ=-

3

2

t，即-ab=-

3

2

，所以ab=

3

2

，a+b=

3 3

2

，
于是可求得a=2b=

3

．
将b=

3

2

代入y=

2

3

x2，得到点Q的坐标（

3

2

，

1

2

）．
再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得k=-

3

3

．
所以直线PQ的函数解析式为y=-

3

3

x+1．
根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为y=-

3

3

x+1或y=

3

3

x+1．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．