Question

14．如图，梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=1，∠BCD=45°．将梯形ABCD折叠，使得点C与点A重合，折痕交CD于E，交BC于F，画出图形．求出折叠后重叠部分的面积．

Answer 1

分析 先过D作DG⊥BC于G，根据四边形ABGD是正方形，△CDG是等腰直角三角形，得到BC=2，再根据勾股定理即可得到CF的长，再延长折痕FE交AD的延长线于Q，根据△AOQ≌△COF，即可得出AQ=CF=$\frac{5}{4}$，最后过E作EH⊥CF于H，交AQ于P，根据△DEQ∽△CEF，即可得出HE=$\frac{5}{6}$PH=$\frac{5}{6}$，据此可得△CEF的面积为$\frac{25}{48}$，进而得出折叠后△AEF的面积为$\frac{25}{48}$．

解答 解：如图所示，连接AC，作AC的垂直平分线EF，连接AE，AF，则EF即为折痕，△AEF即为折叠后重叠部分，过D作DG⊥BC于G，则四边形ABGD是正方形，△CDG是等腰直角三角形，
∴BC=BG+CG=2，
设CF=x=AF，则BF=2-x，
∴Rt△ABF中，1²+（2-x）²=x²，
解得x=$\frac{5}{4}$，
∴CF=$\frac{5}{4}$，
延长FE交AD的延长线于Q，
∵∠AOQ=∠COF，∠Q=∠CFO，AO=CO，
∴△AOQ≌△COF，
∴AQ=CF=$\frac{5}{4}$，
又∵AD=1，
∴DQ=$\frac{1}{4}$，
过E作EH⊥CF于H，交AQ于P，
∵DQ∥CF，
∴△DEQ∽△CEF，
∴$\frac{PE}{HE}$=$\frac{DQ}{CF}$=$\frac{1}{5}$，
又∵PH=DG=1，
∴HE=$\frac{5}{6}$PH=$\frac{5}{6}$，
∴△CEF的面积=$\frac{1}{2}$CF×EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{5}{6}$=$\frac{25}{48}$，
由折叠可得，△AEF的面积=△CEF的面积=$\frac{25}{48}$，
∴折叠后重叠部分的面积为$\frac{25}{48}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，梯形的性质以及轴对称的性质的运用，解决问题的关键作辅助线构造全等三角形以及相似三角形，依据全等三角形对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，求得△CEF的面积．