Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y＝－x²＋2x＋3；（2）P（1,2），；（3）.M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

解析试题分析：(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
试题解析：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax²＋bx＋c中，得：
，解得：
∴抛物线的解析式：y＝－x²＋2x＋3．
（2）y＝－x²＋2x＋3的对称轴x=1，设点P为（1，p）
因为对称轴垂直平分AB，所以：PA=PB.
△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB
其中
当点B、P和C三点共线时，PC+PB存在最小值：

直线BC：y=-x+3，点P在直线BC上：p=-1+3=2
所以点P为（1,2），此时△PAC的周长最小值为
(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：
MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10；
①若MA＝MC，则MA²＝MC²，得：
m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA²＝AC²，得：
m²＋4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC²＝AC²，得：
m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

考点: 二次函数综合题.