Question

（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S₁、S₂，则S₁+S₂的值等于______．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．

Answer 1

（1）∵

1

2

（a+b）（a+b）=2×

1

2

ab+

1

2

c²，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c²，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；

（2）∵S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，
∴S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²）=

1

8

πAB²=

9

2

π；

（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km．
∵O到A、B两个城市的距离相等，
∴AO=BO，即AO²=BO²，
由勾股定理，得40²+x²=60²+（80-x）²，
解得：x=52.5．
即O应建在离C点52.5千米处．
故答案为

9

2

π．