Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴；
（2）把（1）中所求出的抛物线记为C₁，将C₁向右平移m个单位得到抛物线C₂，C₁与C₂的在第一象限交点为M，过点M作MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM，当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求二次函数的解析式，并配方求对称轴；
（2）先求直线AC的解析式，根据各自的解析式设出M（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2），H（x，-$\frac{1}{2}$x+2），由图得△CMH为等腰三角形时，①CM=CH，②当HC=HM时，③当CM=HM时，列式计算求出M的坐标，把M的坐标代入平移后的解析式可并得出m的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=ax²+bx+2=2，
∴抛物线经过（0，2），
∵抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，
设抛物线的解析式为：y=a（x-4）（x+1），
把（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2，对称轴是：直线x=$\frac{3}{2}$；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（4，0）、C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设M（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2），H（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
∵△CMH为等腰三角形，
分三种情况：
①当CM=CH时，
∴C是MH垂直平分线上的点，
∴GH+GM=4，
则-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2+（-$\frac{1}{2}$x+2）=4，
解得：x₁=0（舍），x₂=2，
∴M（2，3），
设平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$-m）²+$\frac{25}{8}$，
把M（2，3）代入得：m=1．
②当HC=HM时，
HM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}x$+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
CH²=${x}^{2}+[2-（-\frac{1}{2}x+2）]^{2}$，
CH=$\frac{\sqrt{5}x}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{5}x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
x₁=0（舍），x₂=4-$\sqrt{5}$，
∴M（4-$\sqrt{5}$，-$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{5}$），
设平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$-m）²+$\frac{25}{8}$，
把M（4-$\sqrt{5}$，-$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{5}$），
代入得：m₁=0（舍），m₂=5-2$\sqrt{5}$；
③当CM=HM时，
HM=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
CM²=${x}^{2}+[-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2-2]^{2}$，
则$[-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x]^{2}$=${x}^{2}+[-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2-2]^{2}$，
x=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
设平移后的抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$-m）²+$\frac{25}{8}$，
把M（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
代入得：m=0（舍）；
综上所述，当m=1时，M（2，3）；当m=5-2$\sqrt{5}$时，M（4-$\sqrt{5}$，-$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{5}$）．

点评 本题是二次函数与几何变换，考查了二次函数的性质和等腰三角形的性质，同时还考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，本题的关键是根据垂直平分线的逆定理得GH+GM=4，列方程可解决此题．