Question

（1）请从三个代数式4x²-y²，2xy+y²，4x²+4xy+y²中，任选两个构造一个分式，并化简该分式；
（2）解方程：（x-1）²+2x-3=0．

Answer 1

分析：（1）根据所给代数式的特点，三个代数式分解因式后都有公因式，因而可以任意进行组合．
（2）对方程进行变形后，再应用直接开平方法解答．

解答：解：（1）本题答案不唯一．

4x2-y2

2xy+y2

（2分）
=

(2x+y)(2x-y)

y(2x+y)

（6分）
=

2x-y

y

（8分）
②

4x2-y2

4x2+4xy+y2

=

(2x+y)(2x-y)

(2x+y)2

=

2x-y

2x+y

y(2x+y)

(2x+y)(2x-y)

=

y

2x-y

；
③

2xy+y2

4x2-y2

=

y(2x+y)

(2x+y)(2x-y)

=

y

2x-y

；
④

2xy+y2

4x2+4xy+y2

=

y(2x+y)

(2x+y)2

=

y

2x+y

；
⑤

4x2+4xy+y2

4x2-y2

=

(2x+y)2

(2x+y)(2x-y)

=

2x+y

2x-y

；
⑥

4x2+4xy+y2

2xy+y2

=

(2x+y)2

y(2x+y)

=

2x+y

y

．

（2）x²-2x+1+2x-3=0（3分）
x²-2=0
x²=2（6分）
∴x₁=

2

，x₂=-

2

．（8分）

点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x²=a（a≥0）；ax²=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）²=b（b≥0）；a（x+b）²=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．