Question

如图9, 已知抛物线与轴交于A (－4，0) 和B(1，0)两点，与轴交于C（0，-2）点．

1.求此抛物线的解析式；

2.设G是线段BC上的动点，作GH//AC交AB于H，连接CF，当△BGH的面积是△CGH面积的3倍时，求H点的坐标;

3.若M为抛物线上A、C两点间的一个动点，过M作轴的平行线，交AC于N，当M点运动到什么位置时，线段MN的值最大，并求此时M点的坐标

 

Answer 1

 

1.设二次函数解析式为y=a(x－x₁)(x－x₂)

∵二次函数与轴交于、两点可得：

　　　　　　∴x₁=－4    x₂=1……………………………………………….1分

           ∴y=a(x+4)(x－1)

           把C（0，-2）代入y=a(x+4)(x－1)得：a=

　　　　　　故所求二次函数的解析式为y= (x+4)(x－1)

=x²+x－2．

2.∵S_△BGH =2 S_△CGH

……………………………………………4分

            ∵GH//AC, ,

          ∴△BGH～△BAC,

 ……………6分

故E点的坐标为(，0).    ………………………….7分

3.若设直线的解析式为

∵ A、两点的坐标分别为（－4,0）、（0，－2）．

则有　解得：  

故直线的解析式为．……………………8分       

若设M点的坐标为，又N点是过点M所作轴的平行线与直线的交点，则N点的坐标为（．则有：

　　　　　　　MN=＝

＝……………………………………….9分

即当时，线段MN取大值，此时M点的坐标为（－2，－3）…………10分

解析:（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；

（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；

（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．