Question

如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC．
（1）线段AP与线段AB的数量关系是：

 

；
（2）若Q是线段AB上一点，且AQ-BQ=PQ，求证：AP=PQ；
（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=

1

2

AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问

MN

AB

的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出

MN

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据BD=2PC可知PD=2AC，故可得出BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，所以点P在线段AB上的

1

3

处；
（2）由题意得AQ＞BQ，故AQ=AP+PQ，再根据AQ-BQ=PQ，可知AQ=BQ+PQ，故AP=BQ，由（1）得，AP=

1

3

AB，故PQ=AB-AP-BQ=

1

3

AB；
（3）当C点停止运动时，有CD=

1

2

AB，故AC+BD=

1

2

AB，所以AP-PC+BD=

1

2

AB，再由AP=

1

3

AB，PC=5cm，BD=10cm，所以

1

3

AB-5+10=

1

2

AB，解得AB=30cm，再根据M是CD中点，N是PD中点可得出MN的长，进而可得出结论．

解答：解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC，
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴点P在线段AB上的

1

3

处，即AB=3P．
故答案为：AB=3P； 
                                         
（2）证明：如图1，由题意得AQ＞BQ，
∴AQ=AP+PQ，
又∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=BQ+PQ，
∴AP=BQ．                                                           
由（1）得，AP=

1

3

AB，
∴PQ=AB-AP-BQ=

1

3

AB．                                           

（3）

MN

AB

的值不变．
理由：如图2，当C点停止运动时，有CD=

1

2

AB，
∴AC+BD=

1

2

AB，
∴AP-PC+BD=

1

2

AB，
∵AP=

1

3

AB，PC=5cm，BD=10cm，
∴

1

3

AB-5+10=

1

2

AB，
解得AB=30cm．                                                      
∵M是CD中点，N是PD中点，
∴MN=MD-ND=

1

2

CD-

1

2

PD=

1

2

CP=

5

2

cm，
∴

MN

AB

=

1

12

．

点评：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．