Question

以电视塔OC所在的直线为y轴，垂直于OC的直线OA为x轴建立直角坐标系，测得山坡坡角A距电视塔脚O的距离为300米，在A处观察塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，如果山坡坡度为，且测倾器的高度不计，请回答下列问题：
（1）直接写出A，C两点的坐标：A______　C______
（2）求点P的铅直高度．（结果保留根号形式）

Answer 1

解：（1）∵OA=300米，
∴A（300，0）．
在Rt△AOC中，∠AOC=60°，
∴tan60°=
∴=，
∴=，
∴OC=300米，
∴C（0，300）．
故答案为：（300，0），（0，300）．

（2）过点P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形EODP是矩形，
∴EO=PD，EP=OD．
∵tan∠PAD==，
∴AD=2PD．
设PD=x，则OE=x，AD=2x，OD=300+2x，
∴EC=300-x，EP=300+2x．
∵∠CPE=45°，
∴∠PCE=45°，
∴∠PCE=∠PEC，
∴EC=PE，
∴300-x=300+2x，
∴x=100-100．
答：点P的铅直高度为（100-100）米．
分析：（1）通过观察由图象直接可以得出A点的坐标，再利用正切值就可以求出OC的值，从而可以求出C点的坐标；
（2）过点P作PD⊥OB于D，PE⊥OC于E，设PD=x，则有OE=x，AD=2x，由条件可以求出CE=PE，建立方程可以求出其解．
点评：本题考查了解直角三角形正切值的运用，坡度的运用，矩形的判定及性质的运用，求点的坐标的运用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是关键．