【题目】如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6).
(1)求二次函数的解析式;
(2)该二次函数的对称轴交x轴于C点,连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积;
(3)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在2S△ADP=S△BCD?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)二次函数解析式为:y=x2﹣4x+6;(2);(3)存在,P1(4+,),P2(4﹣,),P3(3,﹣),P4(5,﹣)
【解析】
(1)根据待定系数法可求二次函数的解析式;
(2)由题意可得C点,D点坐标,求出BC解析式,可求E点坐标,即可求△BDE的面积;
(3)点P到x轴的距离为h,根据2S△ADP=S△BCD,可求h=,再分点P在x轴上方,x轴下方讨论,可求点P坐标.
(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2,0),B(8,6)
∴
解得b=﹣4,c=6
∴二次函数解析式为:y=x2﹣4x+6
(2)∵y=x2﹣4x+6=y=(x﹣4)2﹣2,
∴函数图象的顶点坐标为(4,﹣2),
∴对称轴为直线x=4,点C坐标(4,0)
∵点A,点D是抛物线y=x2﹣4x+6与x轴的交点
∴点A,点D关于对称轴直线x=4对称,且A(2,0)
∴D(6,0)
设BC所在的直线解析式为y=kx+b,且过点B(8,6),点C(4,0)
∴
解得k=,b=﹣6
∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6,
∵E点是直线y=x﹣6与抛物线y=x2﹣4x+6的交点,
∴x﹣6=x2﹣4x+6
解得x1=3,x2=8(舍去),
当x=3时,y=﹣,
∴E(3,﹣)
∴S△BDE=S△CDB+S△CDE=×2×6+×2×=.
(3)存在,
设点P到x轴的距离为h,
∵S△BCD=×2×6=6,S△ADP=×4×h=2h,且2S△ADP=S△BCD
∴2×2h=6,
解得h=,
当P在x轴上方时,
=x2﹣4x+6,解得x1=4+,x2=4﹣,
当当P在x轴下方时,
﹣=x2﹣4x+6,
解得x1=3,x2=5,
∴P1(4+,),P2(4﹣,),P3(3,﹣),P4(5,﹣)
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【题目】请完成下面题目的证明.如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
(1)求证:直线CG为⊙O的切线;
(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH;
①求证:△CBH∽△OBC;
②求OH+HC的最大值.
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【题目】已知关于x的方程x2+mx+m﹣3=0.
(1)若该方程的一个根为2,求m的值及方程的另一个根;
(2)求证:不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
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【题目】今年,6月7日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题.
小丽 | 每个定价3元,每天能卖出500个.若这种粽子的售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个 |
小华 | 照你说,若要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?别忘了,根据物价局规定,售价不能超过进价的. |
小明 | 若按照物价局规定的最高售价,每天的利润会超过800元吗?请判断并说明理由 |
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【题目】已知直线y=kx+2k+4与抛物线y=x 2
(1)求证:直线与抛物线有两个不同的交点;
(2)设直线与抛物线分别交于A, B两点.
①当k=-时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;
②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB=90°,若存在,求点D到直线AB的最大距离. 若不存在,请你说明理由.
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【题目】如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船c的求救信号.已知A、B两船相距100(+3)海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号).
(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,CE⊥BD,垂足为点E,CE=5,且EO=2DE,则ED的长为( )
A.B.2C.1D.2
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【题目】阅读下面材料:
在学习《圆》这一章时,老师给同学们布置了一道尺规作图题:
尺规作图:如图,过圆外一点作圆的切线.
已知:P为⊙O外一点.
求作:经过点P的⊙O的切线.
小敏的作法如下:如图,
(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C.
(2)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙O于A,B两点.
(3)作直线PA,PB.
所以直线PA,PB就是所求作的切线.
老师认为小敏的作法正确.
请回答:
(1)连接OA,OB后,可证∠OAP=∠OBP=90°,其依据是_________.
(2)如果⊙O的半径等于3,点P到切点的距离为4,求点A与点B之间的距离.
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