Question

【题目】如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积；

（3）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在2S△ADP＝S△BCD？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+6；（2）；（3）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）

【解析】

（1）根据待定系数法可求二次函数的解析式；

（2）由题意可得C点，D点坐标，求出BC解析式，可求E点坐标，即可求△BDE的面积；

（3）点P到x轴的距离为h，根据2S△ADP=S△BCD，可求h=，再分点P在x轴上方，x轴下方讨论，可求点P坐标．

（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴

解得b＝﹣4，c＝6

∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+6

（2）∵y＝x2﹣4x+6＝y＝（x﹣4）2﹣2，

∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∴对称轴为直线x＝4，点C坐标（4，0）

∵点A，点D是抛物线y＝x2﹣4x+6与x轴的交点

∴点A，点D关于对称轴直线x＝4对称，且A（2，0）

∴D（6，0）

设BC所在的直线解析式为y＝kx+b，且过点B（8，6），点C（4，0）

∴

解得k＝，b＝﹣6

∴BC所在的直线解析式为y＝x﹣6，

∵E点是直线y＝x﹣6与抛物线y＝x2﹣4x+6的交点，

∴x﹣6＝x2﹣4x+6

解得x1＝3，x2＝8（舍去），

当x＝3时，y＝﹣，

∴E（3，﹣）

∴S△BDE＝S△CDB+S△CDE＝×2×6+×2×＝．

（3）存在，

设点P到x轴的距离为h，

∵S△BCD＝×2×6＝6，S△ADP＝×4×h＝2h，且2S△ADP＝S△BCD

∴2×2h＝6，

解得h＝，

当P在x轴上方时，

＝x2﹣4x+6，解得x1＝4+，x2＝4﹣，

当当P在x轴下方时，

﹣＝x2﹣4x+6，

解得x1＝3，x2＝5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）