Question

14．如果抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（3，6），ax²+bx+c=0（a≠0）的一根为2，则ak²x²+bkx+c=0（ka≠0，k为常数）的两根为$\frac{2}{k}$或$\frac{4}{k}$．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题得到抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（2，0），由于抛物线的对称轴为直线x=3，则抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点的坐标为（4，0），所以ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为2和4，则可判断方程a（kx）²+b（kx）+c=0（ka≠0，k为常数）的两根为2和4，即kx=2或kx=4，然后求出x即可．

解答 解：∵ax²+bx+c=0（a≠0）的一根为2，
∴抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（2，0），
∵抛物线的顶点坐标为（3，6），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点的坐标为（4，0），
∴ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为2和4，
∴方程a（kx）²+b（kx）+c=0（ka≠0，k为常数）的两根为2和4，
即kx=2或kx=4，解得x=$\frac{2}{k}$或x=$\frac{4}{k}$．
故答案为$\frac{2}{k}$或$\frac{4}{k}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标的横坐标即为ax²+bx+c=0的解．解决本题的关键时利用抛物线的交点得到ax²+bx+c=0（a≠0）的两根．