【题目】两块等腰直角三角形纸片AOB和COD 按图1所示放置,直角顶点重合在点O处,其中AB=3,CD=6.保持纸片AOB不动,将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°),如图2所示.当BD与CD在同一直线上(如图3)时,tanα的值等于( )
A. B.C.D.
【答案】C
【解析】
当BD与CD在同一直线上时,根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形,可得OA=OB,OC=OD,由旋转可得∠AOC=∠DOB,证明△AOC≌△BOD,可得AC=BD,在RtACB中,设AC=x,则BD=x,根据勾股定理列出方程求出x的值,可得tan∠ABC==.再根据∠DBO+∠DOB=∠DBO+∠ABC证明∠ABC=α,进而求出α的正切值.
解:当BD与CD在同一直线上(如图3)时,
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形,
∴OA=OB,OC=OD,
由旋转可知:
∠AOC=∠DOB=α,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
∵∠DBO+∠ABC+∠BAO=90°,
∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°
∴∠ACB=90°
在RtACB中,设AC=x,则BD=x,
∴BC=CD+BD=6+x,
∵AB=3,
∴根据勾股定理,得x2+(6+x)2=(3)2,
解得x=3或x=9(舍去).
∴AC=3,BC=9,
∴tan∠ABC==.
三角形AOB和COD是等腰直角三角形,
∴∠CDO=∠ABO=45°,
∴∠DBO+∠DOB=∠DBO+∠ABC,
∴∠ABC=∠DOB,
由旋转可知:
∠AOC=∠DOB=α,
∴∠ABC=α,
∴tanα=.
故选:C
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【题目】如图,△ADB、△BCD都是等边三角形,点E,F分别是AB,AD上两个动点,满足AE=DF.连接BF与DE相交于点G,CH⊥BF,垂足为H,连接CG.若DG=,BG=,且、满足下列关系:,,则GH= .
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【题目】某风景区内的公路如图1所示,景区内有免费的班车,从入口处出发沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计).第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林.离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示.
(1)求第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)函数表达式.并写出x的取值范围;
(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间;
(3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)
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【题目】已知:为的直径,弦于点,连接,点是上一点,连接并延长交于点,交于点.
(1)如图1,连接.求证:;
(2)如图2,连接,过点作交于点,交延长线于点求证:.
(3)如图3,在(2)的条件下,若,,,求的长.
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【题目】某校为了解“阳光体育”活动的开展情况,从全校1000名学生中,随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生只能从A、B、C、D中选择一项自己喜欢的活动项目),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
A:踢毽子 B:乒乓球 C:篮球 D:跳绳
根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查的学生共有 人,并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,求表示区域D的扇形圆心角的度数;
(3)全校学生中喜欢篮球的人数大约是多少人?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D,E是的中点,连接AE交BC于点F,∠ACB =2∠EAB.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求BF的长.
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【题目】甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次,两人的测试成绩如下:
甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10
这两人10次射击命中的环数的平均数==8.5,则测试成绩比较稳定的是 .(填“甲”或“乙”)
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【题目】某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收集整理了学生在作业和考试中的常见错误,编制了10道选择题,每题3分,对他所教的初三(1)班(2)班进行了检测.如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况:
(1)利用图中提供的信息,补全下表:
(2)若把24分以上(含24分)记为”优秀”,两班各50名学生,请估计两班各有多少名学生成绩优秀;
(3)观察图中数据分布情况,请通过计算方差说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定.
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【题目】如图,BD是⊙O的直径,BA是⊙O的弦,过点A的切线CF交BD延长线于点C.
(Ⅰ)若∠C=25°,求∠BAF的度数;
(Ⅱ)若AB=AC,CD=2,求AB的长.
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